Question

11．若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求f（log₂x）的最小值及相应 x的值；
（Ⅲ）若f（log₂x）＞f（1）且log₂f（x）＜f（1），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）代入利用对数的运算性质即可得出．
（II）利用二次函数与对数函数的单调性即可得出．
（Ⅲ）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x+2＞2}\\{lo{g}_{2}（{x}^{2}-x+2）＜2}\end{array}\right.$，利用一元二次不等式的解法、对数函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵f （x）=x²-x+b，∴f （log₂a）=（log₂a）²-loga+b=b，
∴log₂a=1，∴a=2．
又∵log₂f（a）=2，f（a）=4．∴a²-a+b=4，∴b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）=x²-x+2
∴f （log₂x）=（log₂x）²-log₂x+2=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴当log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$时，f （log₂x）有最小值$\frac{7}{4}$．
（Ⅲ）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{（lo{g}_{2}x）^{2}-lo{g}_{2}x+2＞2}\\{lo{g}_{2}（{x}^{2}-x+2）＜2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x＜0或lo{g}_{2}x＞1}\\{0＜{x}^{2}-x+2＜4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1或x＞2}\\{-1＜x＜2}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜1．

点评 本题考查了对数的运算性质、二次函数与对数函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．