Question

16．椭圆$\frac{x^2}{5}$+$\frac{{3{y^2}}}{5}$=1与过点C（-1，0）且斜率为k的直线交于A、B两点．
（1）若线段AB的中点为（-$\frac{1}{2}$，n），求k的值；
（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值为常数，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于x的二次方程，利用根与系数的关系即可求解；本题也可用点差法求解．
（2）对于存在性问题，先假设存在，再进行推到，若能推出一正确结论，则存在，否则就不存在；由题意，建立关系式，利用多项式恒成立问题的求解方法即可求解．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB为y=k（x+1）与$\frac{x^2}{5}+\frac{{3{y^2}}}{5}=1$，
联立得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0，△=4（12k²+5）＞0，
则有${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}$，
∴$-\frac{1}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，
解之得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）假设在x轴上存在一个定点M（x₀，0）满足题意，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=λ$，λ常数，
∵$\overrightarrow{MA}=（{x}_{1}-{x}_{0}，{y}_{1}），\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}-{x}_{0}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）+{y}_{1}{y}_{2}$
=${x}_{1}{x}_{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{{x}_{0}}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}+（{k}^{2}-{x}_{0}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{{x}_{0}}^{2}$+k²
=$\frac{{（{3x_0^2+6{x_0}-1}）{k^2}+x_0^2-5}}{{3{k^2}+1}}=λ$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{3x_0^2+6{x_0}-1=3λ}\\{x_0^2-5=λ}\end{array}}\right.$，即$3x_0^2+6{x_0}-1=3x_0^2-15$，解之得${x_0}=-\frac{7}{3}$，
∴存在$M（{-\frac{7}{3}，0}）$，满足题意．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系问题．真确理解与运用设而不求的思想方法是解题关键．本题对运算能力的要求较高，属于中等难度题．