Question

12．曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；
（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积；由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y）
由题意可得，$\frac{{\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}}{|x-3|}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，
整理得$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$，
则曲线C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，
此时l与C的交点分别为$A（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，$B（1，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
即有$|AB|=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
则${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}×1×\frac{{4\sqrt{3}}}{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}≠\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.⇒（2+3{k^2}）{x^2}-6{k^2}x+3{k^2}-6=0$，
得${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}}}{{2+3{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{k^2}-6}}{{2+3{k^2}}}$，
∴$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（\frac{{6{k^2}}}{{2+3{k^2}}}）}^2}-4\frac{{3{k^2}-6}}{{2+3{k^2}}}]}=4\sqrt{3}\frac{{1+{k^2}}}{{2+3{k^2}}}$．
设O到l的距离为d，则$d=\frac{|-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}×\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}×4\sqrt{3}\frac{{1+{k^2}}}{{2+3{k^2}}}=2\sqrt{3}\sqrt{\frac{{{k^2}（1+{k^2}）}}{{{{（2+3{k^2}）}^2}}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$，
解得k=±1．
综上所述，当△ABO面积为$\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$时，l的方程为y=x-1或y=-x+1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．