Question

已知圆C：x²＋(y－3)²＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，

M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)证明：∵l与m垂直，且k_m＝－，
∴k_l＝3.又k_AC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.
(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由
得N，则＝.
∴·＝·＝＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.
另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.