Question

10．函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x∈[0，π]）的单调递增区间为（　　）

• A． [0，$\frac{5π}{6}$]
• B． [0，$\frac{2π}{3}$]
• C． [$\frac{5π}{6}$，π]
• D． [$\frac{2π}{3}$，π]

Answer 1

分析 利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；可得x∈[0，π]的单调递增区间．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$-$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x∈[0，π]）
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cos（x+$\frac{π}{6}$）
由-π+2kπ≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ．
可得：$-\frac{7π}{6}+2kπ≤$x≤$2kπ-\frac{π}{6}$，k∈Z．
∵x∈[0，π]，
当k=1时，可得增区间为[$\frac{5π}{6}$，π]．
故选C．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．