Question

4．如图，在△ABC中，AB=8，A=60°，点D在AC上，CD=2，cos∠BDC=$\frac{1}{7}$，求BD，BC．

Answer 1

分析 由已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC，利用诱导公式可求sin∠ADB，利用正弦定理可求BD，进而利用余弦定理即可解得BC的值．

解答 （本题满分为10分）
解：在△ABC中，∵cos∠BDC=$\frac{1}{7}$，
∴sin∠BDC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，…2分
∴sin∠ADB=sin（π-∠BDC）=sin∠BDC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴由正弦定理$\frac{BD}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，可得：BD=$\frac{AB•sinA}{sin∠ADB}$=$\frac{8sin60°}{sin∠ADB}$=7，…5分
∴由余弦定理可得：BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC=49+4-2×$7×2×\frac{1}{7}$=49，
∴BC=7…10分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．