Question

16．已知S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$，T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*）
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n与T_n的关系，并证明之．

Answer 1

分析 （1）由已知等式，分别计算S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想：S_n=T_n（n∈N^*），将等式的左边变形为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$），即可得到猜想成立．

解答 解：（1）S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
S₂=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$，
T₁=$\frac{1}{2}$，
T₂=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{12}$；
（2）猜想：S_n=T_n（n∈N^*）
即1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$（n∈N^*）．
证明：1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+…+$\frac{1}{2n}$．
则猜想成立．

点评 本题考查归纳推理的运用和证明，注意运用变形和化简整理的运算能力，属于中档题．