Question

设函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1（ω＞0）直线y=

3

与函数f（x）图象相邻两交点的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（

B

2

，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，且b=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）运用二倍角的余弦公式，以及两角差的正弦化简f（x），再由周期公式，即可得到ω的值；
（Ⅱ）由（1）知f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），f（

B

2

）=0，得到B=

π

3

，再由余弦定理和基本不等式，以及三角形的面积公式，即可求出面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ω

2

x+1
=sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-2•

1+cosωx

2

+1
=

3

2

sinωx-

3

2

cosωx=

3

sin（ωx-

π

3

）
∵f（x）的最大值为

3

，
∴f（x）的最小正周期为π，
∴ω=2．
（Ⅱ）由（1）知f（x）=

3

sin（2x-

π

3

），
∵

3

sin（B-

π

3

）=0⇒B=

π

3

，
∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-9

2ac

=

1

2

，
ac=a²+c²-9≥2ac-9，ac≤9，
故S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

9 3

4

，
故△ABC的面积的最大值为

9 3

4

．

点评：本题考查三角函数的化简和图象、性质，同时考查余弦定理及运用，基本不等式的运用，属于中档题．