Question

设命题p：直线x=y与圆（x-a）²+y²=2有公共点，命题q：函数f（x）=(

1

2

)|x|-a的图象与x轴有交点，试判断命题p与命题q的条件关系，并说明理由．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据直线与圆有公共点，用圆心到直线的距离小于圆的半径得出a的范围，再根据函数f（x）=(

1

2

)|x|-a的图象与x轴有交点求出a的范围，看前后推出的a的范围之间的关系．

解答： 解：命题P：直线x-y=0与圆（x-a）²+y²=2有公共点，则

|a-0|

1+1

≤

2

，所以-2≤a≤2．
命题q：函数f（x）=(

1

2

)|x|-a的图象与x轴有交点，等价于a=(

1

2

)|x|有解．
∵|x|≥0，所以0＜(

1

2

)|x|≤1，因此0＜a≤1．
由0＜a≤1⇒-2≤a≤2，反之不成立，
所以命题q⇒命题p，但命题p不能推出命题q，所以命题q是命题p的充分不必要条件．

点评：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．