题目内容
椭圆
+
=1（a，b＞0）的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
，|PF2|=
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由椭圆
+
=1（a，b＞0）的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=
，|PF2|=
，结合椭圆的定义和勾股定理，可求出a，c，b的值，进而得到椭圆C的方程；
（2）法一：设出直线l的方程为：y=k（x+2）+1，联立椭圆方程，根据韦达定理，可得
=-
=-2，求出k值，进而得到直线L的方程．
法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．利用“差点法”得到直线的斜率，进而得到直线L的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
（2）法一：设出直线l的方程为：y=k（x+2）+1，联立椭圆方程，根据韦达定理，可得
| x1+x2 |
| 2 |
| 18k2+9k |
| 4+9k2 |
法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．利用“差点法”得到直线的斜率，进而得到直线L的方程．
解答：
解：（1）P在椭圆C上，|PF1|=
，|PF2|=
．
∴2a=|PF1|+|PF2|=6，即a=3．
∵PF1⊥F1F2，
∴2c=
=2
，即c=
，
∴b2=a2-c2=4，
∴椭圆C的方程为
+
=1．
（2）法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
由圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得：（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以
=-
=-2，
解得k=
，
所以直线l的方程为y=
（x+2）+1 即8x-9y+25=0． （经检验，符合题意）
法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且
+
=1…①，
+
=1…②
由①-②得：
+
=1③
因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=-4，y1+y2=2，
代入③得
=
，
即直线l的斜率为
，
所以直线l的方程为y-1=
（x+2），
即8x-9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
∴2a=|PF1|+|PF2|=6，即a=3．
∵PF1⊥F1F2，
∴2c=
| |PF2|2-|PF1|2 |
| 5 |
| 5 |
∴b2=a2-c2=4，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
由圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为：y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得：（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以
| x1+x2 |
| 2 |
| 18k2+9k |
| 4+9k2 |
解得k=
| 8 |
| 9 |
所以直线l的方程为y=
| 8 |
| 9 |
法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=5，所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且
| x12 |
| 9 |
| y12 |
| 4 |
| x22 |
| 9 |
| y22 |
| 4 |
由①-②得：
| (x1-x2)(x1+x2) |
| 9 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| 4 |
因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=-4，y1+y2=2，
代入③得
| (y1-y2) |
| (x1-x2) |
| 8 |
| 9 |
即直线l的斜率为
| 8 |
| 9 |
所以直线l的方程为y-1=
| 8 |
| 9 |
即8x-9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，是直线与圆锥曲线的综合应用，难度中档．
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