Question

9．解方程：（x+8）²⁰¹⁵+x²⁰¹⁵+2x+8=0．

Answer 1

分析 令f（x）=（x+8）²⁰¹⁵+x²⁰¹⁵+2x+8．而f（-4）=0，再利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵-4满足方程（-4+8）²⁰¹⁵+（-4）²⁰¹⁵+2×（-4）+8=0，
∴x=-4是方程的一个实数根．
令f（x）=（x+8）²⁰¹⁵+x²⁰¹⁵+2x+8．
则?x∈R，f′（x）=2015（x+8）²⁰¹⁴+2015x²⁰¹⁴+2＞0，
∴函数f（x）在R上单调递增，
因此方程f（x）=0只有一个实数根．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、解方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．