Question

19．已知f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，且f（x）为偶函数，当x∈[3，4]时，f（x）=log₃x，试求当x∈[-1，1]时，f（x）的解析式．

Answer 1

分析 求得函数的周期为2，利用当x∈[3，4]时，f（x）=log₃x，求得f（x）=f（x+4）=log₃（x+4）（x∈[-1，0]），
再根据f（x）为偶函数，可得f（x）=f（-x）=log₃（-x+4），即可求当x∈[-1，1]时，f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），∴函数的周期为2，
设x∈[-1，0]，则x+4∈[3，4]，
∵x∈[3，4]时，f（x）=log₃x，
∴f（x）=f（x+4）=log₃（x+4）（x∈[-1，0]），
设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴f（-x）=log₃（-x+4），
∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x）=log₃（-x+4），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x+4），-1≤x≤0}\\{lo{g}_{3}（-x+4），0＜x≤1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性，考查学生分析解决问题的能力，确定函数的周期是关键．