Question

19．解方程ax²-（a²+2）x+2a≤0．

Answer 1

分析 根据题意，讨论a=0，a＞0与a＜0时，对应不等式的解集是什么，求出不等式的解集即可．

解答 解：不等式ax²-（a²+2）x+2a≤0可化为（ax-2）（x-a）≤0，
当a=0时，不等式化为-2x≤0，它的解集为{x|x≥0}；
当a＞0时，不等式化为（x-$\frac{2}{a}$）（x-a）≤0，
若a=$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{a}$=a，不等式化为${（x-\sqrt{2}）}^{2}$≤0，其解集为{x|x=$\sqrt{2}$}；
若0＜a＜$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{a}$＞a，不等式的解集为{x|a≤x≤$\frac{2}{a}$}；
若a＞$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{a}$＜a，不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤a}；
当a＜0时，原不等式化为（x-$\frac{2}{a}$）（x-a）≥0，
若a=-$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{a}$=a，不等式化为${（x+\sqrt{2}）}^{2}$≥0，其解集为R；
若-$\sqrt{2}$＜a＜0，则$\frac{2}{a}$＜a，不等式的解集为{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥a}；
若x＜-$\sqrt{2}$，则$\frac{2}{a}$＞a，不等式的解集为{x|x≤a或x≥$\frac{2}{a}$}；
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≥0}；
a=$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|x=$\sqrt{2}$}；
0＜a＜$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|a≤x≤$\frac{2}{a}$}；
a＞$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤a}；
a=-$\sqrt{2}$时，不等式的解集为R；
-$\sqrt{2}$＜a＜0时，不等式的解集为{x|x≤$\frac{2}{a}$或x≥a}；
x＜-$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|x≤a或x≥$\frac{2}{a}$}．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．