Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=5，S₇=28．
（1）求数列的通项{a_n}；      
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和T_n；
（3）若数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+q^a_n（q＞0，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式，并比较b_n•b_n+2与b_n+1²的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可得出；
（2）Sn=

n(n+1)

2

，可得

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

(n+1)

]，利用“裂项求和”即可得出．
（3））由于bn+1-bn=qn，当n≥2时，可得b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

，对q=1或q≠1时，计算b_n•b_n+2-b_n+1²即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}为d，
∵a₅=5，S₇=28．
∴

a1+4d=5 7a1+ 7×6 2 d=28

，
解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2[

1

n

-

1

(n+1)

]，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．
（3）∵bn+1-bn=qn，
∴当n≥2时，b_n=b₁+（b₂-b₁）+…（b_n-b_n-1）=1+q+q²+…q^n-1=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

当n=1时，b₁=1满足上式，
∴bn=

n，(q=1) 1-qn 1-q (q≠1)

．
当q=1时，bn•bn+2-bn+12=n(n+2)-(n+1)2=-1＜0，
当q≠1时，bn•bn+2-bn+12=

1-qn

1-q

•

1-qn+2

1-q

-(

1-qn+1

1-q

)2=-qn＜0，
∴bn•bn+2＜bn+12．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．