Question

如图所示，正方形ABCD所在的平面与等腰△ABE所在的平面互相垂直，其中顶∠BAE=120°，AE=AB=4，F为线段AE的中点．
（Ⅰ）若H是线段BD上的中点，求证：FH∥平面CDE；
（Ⅱ）若H是线段BD上的一个动点，设直线FH与平面ABCD所成角的大小为θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC，证明FH∥CE，即可证明：FH∥平面CDE；
（Ⅱ）作FI⊥AB，垂足为I，则FI⊥AD，FI⊥平面ABCD，可得∠FHI是直线FH与平面ABCD所成角，tan∠FHI=

FI

IH

=

3

IH

，当IH⊥BD时，IH取得最小值

5

2

2

，即可求tanθ的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，
∵ABCD是正方形，
∴H是AC的中点，
∵F是AE的中点，
∴FH∥CE，
∵FH?平面CDE，CE?平面CDE，
∴FH∥平面CDE；
（Ⅱ）解：∵正方形ABCD所在的平面与等腰△ABE所在的平面互相垂直，DA⊥AB，
∴DA⊥平面ABE，
作FI⊥AB，垂足为I，则FI⊥AD，∴FI⊥平面ABCD，
∴∠FHI是直线FH与平面ABCD所成角．
∵FI=AFsin60°=

3

，
∴tan∠FHI=

FI

IH

=

3

IH

，
当IH⊥BD时，IH取得最小值

5

2

2

，
∴（tan∠FHI）_max=

6

5

．

点评：本题考查线面平行，考查直线FH与平面ABCD所成角，正确运用线面平行的判定定理，作出线面角是关键．