Question

3．已知a，b∈R⁺，则（a+$\frac{1}{a}$）•（b+$\frac{1}{b}$）的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得（a+$\frac{1}{a}$）•（b+$\frac{1}{b}$）=ab+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$≥2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，验证等号成立即可．

解答 解：∵a，b∈R⁺，∴（a+$\frac{1}{a}$）•（b+$\frac{1}{b}$）
=ab+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{1}{ab}$≥2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$且ab=$\frac{1}{ab}$即a=b=1时取等号．
故选：D．

点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．