Question

13．已知函数f（x）=|1-2x|-|1+x|．
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）若关于x的不等式a²+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得 a²+2a＞|2x-1|-|2x+2|，再利用绝对值三角不等式求得|2x-1|-|2x+2|的最大值为3，可得a²+2a＞3，求得a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=|1-2x|-|1+x|，故f（x）≥4，即|1-2x|-|1+x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x+x+1≥4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-x-1≥4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-x-1≥4}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得x∈∅，解③求得x≥6，
综上可得，云不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥6}．
（2）关于x的不等式a²+2a+|1+x|＞f（x）恒成立，即 a²+2a＞|2x-1|-|2x+2|，
而|2x-1|-|2x+2|≤|2x-1-（2x-2）|=3，故有a²+2a＞3，求得a＜-3，或a＞1．
即实数a的取值范围为{a|a＜-3，或a＞1}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．