Question

8．设函数f（x）=（2-t）•2^x+（t-3），其中t为常数，且t∈R．
（1）求f（0）的值；
（2）求函数g（x）=$\frac{f（x）}{{4}^{x}}$在区间[0，1]上的最小值；
（3）若对任意实数t∈[-1，1]，不等式f（x）＞0恒成立．求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入可得
（2）求出g（x）=（2-t）（$\frac{1}{2}$^_）x+（t-3）（$\frac{1}{2}$）^2xd配方得：=（t-3）[（$\frac{1}{2}$^_）x+$\frac{2-t}{2（t-3）}$]²-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$，分别对t进行分类讨论可得函数的最小值；
（3）式子整理为t（2^x-1）＜2^x+1-3，由t∈[-1，1]，要使恒成立，则2^x+1-3＞2^x-1且2^x+1-3＞-2^x+1，分别求解求出x的范围．

解答 解：（1）f（0）=（2-t）+t-3
=-1；
（2）g（x）=（2-t）（$\frac{1}{2}$^_）x+（t-3）（$\frac{1}{2}$）^2x
=（t-3）[（$\frac{1}{2}$）^2x+$\frac{2-t}{t-3}$]
=（t-3）[（$\frac{1}{2}$^_）x+$\frac{2-t}{2（t-3）}$]²-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$
对称轴为x=-$\frac{2-t}{2（t-3）}$，（$\frac{1}{2}$^_）x∈[$\frac{1}{2}$，1]
当3≤t≤4时，g（x）_min=-$\frac{（2-t）^{2}}{4（t-3）}$
当t≥4时，g（x）_min=g（1）=-1
当t＜3时，g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=2t-8；
（3）2^x+1-t2^x+t-3＞0
∴t（2^x-1）＜2^x+1-3
∵t∈[-1，1]
∴2^x+1-3＞2^x-1且2^x+1-3＞-2^x+1
解得x＞$lo{g}_{2}\frac{4}{3}$且x＞1
故x的范围为x＞1．

点评 考察了二次函数的配方，参数的讨论以及对恒成立问题的理解．