Question

13．已知函数f（x）=x（lnx-ax）（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代入得f（x）=xlnx，求导，利用导函数判断函数单调性，求出极值，得到函数最值；
（2）由f（x）≤0得a≥$\frac{lnx}{x}$恒成立，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需求$\frac{lnx}{x}$的最大值即可；
（3）先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．

解答 解（1）f（x）=xlnx
f'（x）=lnx+1
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f'（x）＜0，f（x）递减
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增
∴f（x）的最小值为f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（2）f（x）≤0
∴a≥$\frac{lnx}{x}$恒成立
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$则h'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，h（x）递增
当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）递减
∴h（x）的最大值为h（e）=$\frac{1}{e}$
∴a≥$\frac{1}{e}$
（3）f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），
函数f（x）=x（lnx-ax），则f′（x）=lnx-2ax+1，
令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，
函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax-1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查利用导函数求函数最值，恒成立问题转换为最值问题，函数的零点以及数形结合方法．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷