Question

3．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的是①④（填入正确结论的序号）
①y=f（x）的图象关于（2π，0）中心对称 ②y=f（x）的图象关于直线x=π对称 ③f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
④f（x）既是奇函数，又是周期函数．

Answer 1

分析 ①用中心对称的充要条件，直接验证f（4π-x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
②用轴对称的条件直接验证f（2π-x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
③可将函数解析式换为f（x）=2sinx-2sin³x，再换元为y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
④可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．

解答 解：①∵f（4π-x）+f（x）=cos（4π-x）sin2（4π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，
故y=f（x）的图象关于（2π，0）中心对称，故①正确，
②∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）=-cosxsin2x=-f（x），故y=f（x）的图象关于x=π不对称，故②错误，
③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，
则y=2t-2t³，t∈[-1，1]，则y′=2-6t²，令y′＞0解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}＜t＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故y=2t-2t³，在[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]上增，在[$-1，-\frac{\sqrt{3}}{3}$]与[$\frac{\sqrt{3}}{3}，1$]上减，
又y（-1）=0，y（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，故函数的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$，故③错误；
④∵f（-x）+f（x）=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，
又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，
∴函数即是奇函数，又是周期函数，故④正确．
故正确的是①④，
故答案为：①④．

点评 本题考查函数的中心对称性，轴对称性的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．