Question

19．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在棱AB上．
（1）求证：AC⊥B₁C；
（2）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （1）由题目给出的三棱柱的底面边长可证得AC⊥BC，再根据给出的三棱柱为直三棱柱，有AC⊥CC₁，利用线面垂直的判定可以证明AC⊥面BB₁C₁C，从而得到要证的结论．（2）连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．证明DE∥AC₁，利用直线与平面平行的判定定理证明AC₁∥平面B₁CD．

解答 证明：（1）在△ABC中，∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥AC．
∵BC∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．
∴AC⊥B₁C．
（2）如图连接BC₁，交B₁C与E，连接DE，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴侧面BB₁C₁C为矩形，D是AB中点，DE为△ABC₁的中位线，

∴DE∥AC₁．
∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．