Question

15．已知函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）与g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象对称轴完全相同，则g（$\frac{π}{3}$）的值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 分别求得2个函数的图象的对称轴，根据题意可得ω=2，$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{φ}{2}$，由此求得 φ 的值，可得g（x）的解析式，从而求得g（$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的对称轴方程为ωx-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 x=$\frac{kπ}{ω}$+$\frac{5π}{6ω}$，k∈z．
g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴为 2x+φ=kπ，即 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{φ}{2}$，k∈z．
∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）和g（x）=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象的对称轴完全相同，
∴ω=2，再由0＜φ＜π，可得 $\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{φ}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=cos（2x+φ）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），g（$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{5π}{6}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数的对称轴方程的求法，注意两个函数的对称轴方程相同的应用，找出一个对称轴方程就满足题意，考查计算能力，属于中档题．