Question

20．菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=$\frac{π}{3}$，点E，F分别在边BC，CD上，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CF}$=（1-λ）$\overrightarrow{CD}$．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值；
（2）求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的三角形法则以及数量积公式展开计算；
（2）将$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BF}$用λ的二次函数解析式表示，然后求最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$…（3分）
=1+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{CF}=（1-λ）\overrightarrow{CD}$，
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=（λ-1）\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，…（8分）
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=（λ-1）{（\overrightarrow{AB}）^2}+λ{（\overrightarrow{AD}）^2}+[λ（λ-1）+1]\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$…（10分）
=$\frac{1}{2}{λ^2}+\frac{3}{2}λ-\frac{1}{2}$，λ∈[0，1]，…（12分）
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}∈[-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$．…（14分）

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式；属于基础题．