Question

设函数f（x）=sin（

π

2

x+

π

3

）（x∈R），若存在这样的实数x₁，x₂，对任意的x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：由已知可知f（x₁）是f（x）中最小值，f（x₂）是值域中的最大值，它们分别是函数图象的最高点和最低点的纵坐标，它们的横坐标最少相差正弦函数的半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．

解答： 解：∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）和f（x₂）分别是函数的最大值和最小值，
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=

2π

π 2

=4，
∴|x₁-x₂|的最小值为2，
故答案为：2．

点评：本题是对正弦函数性质的考查，明确三角函数的图象特征，以及f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）的实质意义的理解是解决好这类问题的关键．