Question

己知圆C₁的参数方程为

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）．
（Ⅰ）将圆C₁的参数方程他为普通方程，将圆C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C₁，C₂是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用sin²φ+cos²φ=1即可把圆C₁的参数方程

x=cosφ y=sinφ

，化为直角坐标方程．
（II）由x²+y²=1，x²+y²=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．利用点到直线的距离公式可得圆心（0，0）到此直线的距离d，即可得出弦长|AB|=2

1-d2

．

解答： 解：（I）由圆C₁的参数方程

x=cosφ y=sinφ

，
消去参数φ可得：x²+y²=1．
由圆C₂的极坐标方程ρ=2

2

cos（θ-

π

4

），化为ρ2=2

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)•ρ，
∴x²+y²=2x+2y．即（x-1）²+（y-1）²=2．
（II）由x²+y²=1，x²+y²=2x+2y．可得两圆的相交弦所在的直线方程为2x+2y=1．
圆心（0，0）到此直线的距离d=

|0+0-1|

22+22

=

2

4

．
∴弦长|AB|=2

1-( 2 4 )2

=

14

2

．

点评：本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、两圆的相交弦长、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．