Question

14．如图，已知D是△ABC边BC上一点．
（1）若B=45°，且AB=DC=7，求△ADC的面积；
（2）当∠BAC=90°时，若BD：DC：AC=2：1：$\sqrt{3}$，且AD=2$\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，由已知可求AE，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（2）设CD=x，则BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，可求BC=3x，AB=$\sqrt{6}$x，进而利用余弦定理，三角函数的定义建立方程即可解得DC的值．

解答 解：（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，
∵B=45°，且AB=DC=7，则AE=ABsinB=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
可得：S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AE=$\frac{1}{2}×7×\frac{7\sqrt{2}}{2}$=$\frac{49\sqrt{2}}{4}$．
（2）设CD=x，则BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∴BC=CD+BD=3x，AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$x，
∴cosC=$\frac{D{C}^{2}+A{C}^{2}-A{D}^{2}}{2AC•DC}$=$\frac{AC}{BC}$，可得：$\frac{{x}^{2}+3{x}^{2}-8}{2\sqrt{2}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：x=2．
∴CD=2．

点评 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．