Question

2．如图，正四面体V-ABC中，D是棱VC的中点，则AD与面ABC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 设底面ABC的中心为F，则D在底面的射影为CF的中点G，于是∠DAG为所求线面角，设正四面体的棱长为2，求出AD和DG即可得出答案．

解答 解：取AB的中点E，连接CE，VE，
过V作VF⊥平面ABC，则F为△ABC的中心，
设正四面体的棱长为2，则CE=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{2}{3}CE$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
取CF的中点G，连接DG，则DG∥VF，
∴DG⊥平面ABC，∴∠DAG为AD与平面ABC所成的角，
∵VF=$\sqrt{V{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∴DG=$\frac{1}{2}$VF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又AD=CE=$\sqrt{3}$，
∴sin∠DAG=$\frac{DG}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了直线与平面所成角的计算，作出所求的线面角是解题关键，属于中档题．