Question

12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，已知a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$．
（1）求△ABC的周长；
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及余弦定理可求c，从而可求三角形的周长．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinC，再根据正弦定理求出sinA，根据两角差的余弦公式即可求值．

解答 解：（1）∵a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，
∵c²=a²+b²-2abcosC=1+4-4×$\frac{1}{4}$=4，
∴解得：c=2  
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（2）∵cosC=$\frac{1}{4}$．
∴sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sinA=$\frac{1×\frac{\sqrt{15}}{4}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∵a＜c，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{7}{8}$，
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=$\frac{7}{8}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{15}}{8}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{11}{16}$

点评 本题主要考查了余弦定理、正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了两角差的余弦公式的应用及计算能力，属于中档题．