Question

4．函数f（x）$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{4}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{4}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$若f（x）的两个零点分别为x₁，x₂，则|x₁-x₂|=3．

Answer 1

分析 作出函数y=log₄x和y=3-x的图象交点A，作出y=（$\frac{1}{4}$）^x与y=x+3的交点B，y=4^x与y=3-x的交点C，根据A，B，C之间的对称关系得出x₁，x₂的关系．

解答 解：当x＞0时，令f（x）=0得log₄x=3-x，
作出函数y=log₄x和y=3-x的函数图象，设交点为A（x₁，y₁），
当x＜0时，令f（x）=0得（$\frac{1}{4}$）^x=x+3，
作出函数y=（$\frac{1}{4}$）^x和y=x+3的函数图象，设交点为B（x₂，y₂），
显然x₁＞x₂．
作函数y=4^x的函数图象，与y=3-x的图象交于C（x₀，y₀）点．
∵y=（$\frac{1}{4}$）^x与y=4^x的函数图象关于y轴对称，y=x+3与y=3-x的图象关于y轴对称，
∴B，C关于y轴对称，∴x₀=-x₂，y₀=y₂，
∵y=4^x与y=log₄x互为反函数，
∴y=4^x与y=log₄x的函数图象关于直线y=x对称，又y=3-x关于y=x对称，
∴A，C关于直线y=x对称．∴x₀=y₁，y₀=x₁．
∴x₂=-y₁，
∴|x₁-x₂|=x₁-x₂=x₁+y₁，
又A（x₁，y₁）在直线y=3-x上，∴x₁+y₁=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了函数基本初等函数的图象，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．