Question

9．如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥AD．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）若CD=1，BC=PC=PD=2，求三棱锥P-BCD的体积．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BD于点O，连接EO．利用中位线定理得出PC∥OE，故而PC∥平面BDE；
（II）证明AD⊥平面PCD，于是BC⊥平面PCD，从而V_P-BCD=V_B-PCD=$\frac{1}{3}{S}_{△PCD}•BC$．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴O为AC的中点，又E是PA的中点，
∴EO∥PC，又EO?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED．
（Ⅱ）∵矩形ABCD中，∴AD⊥CD，BC∥AD，
又AD⊥PD，CD?平面PCD，PD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PCD，
∵CD=1，PC=PD=2，∴${S_{△PCD}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{{2^2}-{{（\frac{1}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴${V_{P-BCD}}={V_{B-PCD}}=\frac{1}{3}×{S_{△PCD}}×BC=\frac{{\sqrt{15}}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．