Question

下列四个命题：
①函数y=f（a+x）（x∈R）与y=f（a-x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称；
②函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]；
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞

1

2

”的充分不必要条件；
④数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+λn+2（n∈N₊），若{a_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（-3，+∞）．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据函数图象的对称变换法则，可判断①；根据对数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质，可判断②；根据充要条件的定义和正弦函数的图象和性质可判断③；根据递增数列的定义，可判断④

解答： 解：对于①，函数y=f（a+x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称变换后得到y=f[a+（2a-x）]=f（3a-x）（x∈R）的图象，故①错误；
对于②，若函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域为R，令y=ax²-2x+a的值域为A，则（0，+∞）⊆A，当a=0时，满足条件，
当a≠0时，须a＞0且△=4-4a²≥0，解得0＜a≤1；　
综上可得实数a的取值范围为[0，1]；故②正确
③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞

1

2

”的必要不充分条件；
④数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+λn+2（n∈N₊），则a_n+1=（n+1）²+λ（n+1）+2，
若{a_n}是单调递增数列，则a_n+1-a_n=2n+1+λ＞0恒成立，
即λ＞-（1+2n）≥-3，
故实数λ的取值范围为（-3，+∞）．故④正确；
故真命题的序号是②④，
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象的对称变换，对数函数，二次函数，正弦函数的图象和性质，数列的单调性等知识点，难度中档．