Question

6．双曲线x²-4y²=4的两个焦点F₁、F₂，P是双曲线上的一点，满足PF₁⊥PF₂，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根据所给的双曲线的方程，写出双曲线的实轴长和焦距，设PF₁=m，PF₂=n，根据双曲线的定义和勾股定理求得mn，由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$mn，求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：∵双曲线x²-4y²=4，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
设PF₁=m，PF₂=n，
由双曲线的定义可知：丨m-n丨=4   ①，
∵PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可知：m²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，②
把①平方，然后代入②，求得mn=2，
∴△F₁PF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$mn=1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的定义及性质，考查根据勾股定理，双曲线的定义及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．