Question

13．已知等腰直角三角形AOB内接于抛物线y²=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积为16，F为抛物线的焦点，N（-1，0），若M是抛物线上的动点，则$\frac{|MN|}{|MF|}$的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2\sqrt{2}-1}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2\sqrt{2}+1}$

Answer 1

分析 设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，进而可求得AB=4p，从而可得S_△OAB．设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y²=4x，过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出结论．

解答 解：设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2p}\\{y=2p}\end{array}\right.$，
故AB=4p，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2p×4p=4p²．
∵△AOB的面积为16，∴p=2，
设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y²=4x可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴由△=（2k²-4）²-4k⁴=0，可得k=±1，此时直线的倾斜角为45°．
过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，
∴$\frac{|MN|}{|MF|}$=$\frac{|MN|}{|MA|}$
∴直线的倾斜角为45°或135°时，$\frac{|MN|}{|MA|}$取得最大值$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键，属于中档题．