Question

15．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F₁，F₂分别为$（-\sqrt{5}，0）和（\sqrt{5}，0）$，点P在双曲线上，PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 利用△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|•|PF₂|=2，利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求双曲线的方程．

解答 解：由题意，c=$\sqrt{5}$，
因为△PF₁F₂的面积为1，PF₁⊥PF₂，
所以|PF₁|•|PF₂|=2，
又|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²=20，
从而（|PF₁|-|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|=20-4=16，即4a²=16，a=2，
所以b²=c²-a²=5-4=1，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．