题目内容
20．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，连接BC1，过B1作B1E⊥BC1交CC1于点E．（1）求证：B1E⊥平面ABC1；
（2）求三棱锥C1-B1D1E的体积．
分析 （1）由ABCD-A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1E，又B1E⊥BC1，且AB∩BC1=B，由线面垂直的判定可得B1E⊥平面ABC1；
（2）在长方形BCC1B1 中，由B1E⊥BC1，可得△C1B1B∽△EC1B1，结合已知求得${C}_{1}E=\frac{4}{3}$，得到△B1C1E的面积，再由等积法求得三棱锥C1-B1D1E的体积．
解答 （1）证明：∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面BCC1B1，又B1E?平面BCC1B1，
∴AB⊥B1E，又B1E⊥BC1，且AB∩BC1=B，
∴B1E⊥平面ABC1；
（2）解：在长方形BCC1B1 中，由B1E⊥BC1，
可得△C1B1B∽△EC1B1，∵AB=BC=2，BB1=3，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{B{B}_{1}}$，得${C}_{1}E=\frac{4}{3}$，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}E}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{3}=2$，
∴${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}{D}_{1}E}={V}_{{D}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}E}$=$\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．
点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
练习册系列答案
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