题目内容

15．给出下列三个结论：
①若命题p：?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$+x0+1≤0，则￢p：?x∈R，x2+x+1＞0；
②命题“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的否命题为：“若m≤0，则方程x2+x-m=0没有实数根”；
③命题p：a=1是x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立的充要条件．
其中正确的是（　　）
A．①B．②③C．①②D．①③

分析 ①根据特称命题的否定是全称命题进行判断，
②根据否命题的定义进行判断即可，
③根据基本不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：①若命题p：?x0∈R，x${\;}_{0}^{2}$+x0+1≤0，则￢p：?x∈R，x2+x+1＞0；正确，故①正确，
②命题“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的否命题为：“若m≤0，则方程x2+x-m=0没有实数根”；正确，故②正确，
③当a=1时，x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{a}{x}}$=2$\sqrt{a}$=2，即充分性成立，
若x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立，则x2+a≥2x，即a≥-x2+2x，
当x＞0时，-x2+2x=-（x-1）2+1≤1，
则a≥1，此时必要性不成立，
即a=1是x＞0，x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立的充分不必要条件，故③错误，
故选：C

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，否命题的定义以及充分条件和必要条件的判断，涉及知识点较多，但难度不大．

练习册系列答案
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