Question

13．设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为$\frac{32π}{3}$的球面上，则直线B₁C与直线AC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $-\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形得出AB为截面圆的直径，求出AB的值以及三棱柱外接球的半径R；再利用三角形以及空间向量的知识求出向量$\overrightarrow{{AC}_{1}}$与$\overrightarrow{{B}_{1}C}$夹角的余弦值的绝对值即可．

解答 解：∵∠BCA=90°，BC=CA=2，
∴AB=2$\sqrt{2}$，且为截面圆的直径；
又三棱柱外接球的体积为$\frac{32π}{3}$，
∴$\frac{4}{3}$π•R³=$\frac{32π}{3}$，
解得外接球的半径为R=2；

△ABC₁中，AB⊥BC₁，AB=2$\sqrt{2}$，AC₁=2R=4，
∴BC₁=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{{CC}_{1}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$-$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=$\overrightarrow{AC}$•（-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$）-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$-${\overrightarrow{{CC}_{1}}}^{2}$-$\overrightarrow{{CC}_{1}}$•$\overrightarrow{CB}$
=0-0-${（2\sqrt{2}）}^{2}$-0
=-8，
|$\overrightarrow{{AC}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{B}_{1}C}$|=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+2}^{2}}$=$\sqrt{12}$；
∴异面直线B₁C与AC₁所成的角θ的余弦值为：
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{{AC}_{1}}|×|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$|=|$\frac{-8}{\sqrt{12}×\sqrt{12}}$|=$\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了异面直线所成角的计算问题，解题时可以利用两向量所成的角进行计算，是综合性题目．