Question

已知椭圆C：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的上顶点为B（0，b），椭圆C上到点B的距离最大的点恰为下顶点（0，-b），则椭圆C的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，利用两点间的距离公式可得：|PA|²=x²+（y-b）²=1-

y2

b2

+（y-b）²=

c2

b2

（y-

b3

c2

）²+

1

c2

=f（y），由于椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），利用二次函数的单调性可知：f（y）在（-b，b）单调递减，可得-

b3

c2

≤-b，即可得出离心率的取值范围．

解答： 解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，
则x²+

y2

b2

=1，化为x²=1-

y2

b2

．
∴|PA|²=x²+（y-b）²=1-

y2

b2

+（y-b）²=

c2

b2

（y-

b3

c2

）²+

1

c2

=f（y）
∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，-b），
由二次函数的单调性可知：f（y）在（-b，b）单调递减，
∴-

b3

c2

≤-b，
化为c²≤b²=a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤

2

2

．
又e＞0．
∴离心率的取值范围是（0，

2

2

]．
故答案为：（0，

2

2

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．