Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

|．则下列结论正确的有

 

（写出所有正确的序号）
（1）函数f（x）的定义域为R；
（2）f（x）的图象关于原点对称；
（3）f（x）的值域是[0，1）；
（4）f（x）在其定义域区间上是单调函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的性质分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：（1）∵2^x+1＞0，∴分母恒有意义，
则函数f（x）的定义域为R；故（1）正确．
（2）∵

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）．
∴f（x）是奇函数，
则f（x）的图象关于原点对称；故（2）正确．
（3）由y=

2x-1

2x+1

得y（2^x+1）=2^x-1，
即（1-y）2^x=y+1，
当y=1时，方程等价为0=1不成立，
当y≠1时，方程等价为2^x=

y+1

1-y

，
由2^x=

y+1

1-y

＞0得（y+1）（1-y）＞0，
即-1＜y＜1，
即f（x）的值域是（0，1）；故（3）错误．
（4）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1是增函数，
∴y=

2

2x+1

为减函数，y=-

2

2x+1

为增函数，
y=1-

2

2x+1

为增函数，
即f（x）在其定义域区间上是单调函数．故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）

点评：本题主要考查函数性质的判断，根据函数指数函数的图象和性质是解决本题的关键．