Question

已知函数，其中.
（1）若对一切恒成立，求的取值范围；
（2）在函数的图像上取定两点，记直线 的斜率为，证明:存在，使成立.

Answer 1

（1）
（2）由题意可得
令则
令。

试题分析：（1），令
当时单调递减；当时，单调递增
∴当时， 有最小值
于是对于一切,恒成立，当且仅当    ①
令，则
当时，取最大值1，当且仅当时，①式成立
综上所述的取值的集合为
（2）由题意可得
令则


令
当时单调递减；当时，单调递增。故当时，
即，，又，
所以
所以存在，使
点评：典型题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。求函数的极值问题，基本步骤是“求导数、求驻点、研究单调性、求极值”。“恒成立问题”往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解答。