Question

已知函数的导数为实数，.
（Ⅰ）若在区间［-1，1］上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）或（Ⅲ）时极值点个数0，当时两个极值点

试题分析：（Ⅰ）由已知得，，        1分
由得.
，当时，递增；
当时，，递减.
在区间［-1，1］上的最大值为.      2分
又.
由题意得，即，得为所求。        4分
（Ⅱ）解：由（1）得，点P（2，1）在曲线上。
当切点为P（2，1）时，切线的斜率，
的方程为.      5分
当切点P不是切点时，设切点为切线的余率，
的方程为。又点P（2，1）在上，，
，
.切线的方程为.
故所求切线的方程为或.              8分
（Ⅲ）解：.
.
.
二次函数的判别式为
得：
.令，得，或。        10分
因为，
时，，函数为单调递增，极值点个数0；   11分
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点.                12分
点评：利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，利用几何意义在求解第二问时需分点是否在曲线上两种情况；函数在闭区间上的最值出现在极值点或区间的边界处，函数存在极值需满足函数的导数值有正有负