Question

已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求实数的取值范围；
（3）若对任意，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：解：（Ⅰ）当时，，
因为，.所以切线方程是
（Ⅱ）函数 的定义域是，
当时,
令，即,
所以或。
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是；
当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；
当时，在（1，e）上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，不合题意；
综上，。
（Ⅲ）设，则，只要在上单调递增即可.而，
当时，，此时在上单调递增；
当时，只需在上恒成立，因为，只要，
则需要，且对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即；
综上。
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。