Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=3，且 a_n-1-a_n=$\frac{1}{3}$na_n-1a_n（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：a_n≠0（a≠2，n∈N^*）；
（2）设b=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）记数列{a_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜6（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）运用恒等式$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+$\frac{1}{{a}_{1}}$，由此利用累加法和等差数列通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{6}$，从而能求出a_n=$\frac{6}{n（n+1）}$，即有a_n≠0；
（2）由（1）可得b_n；
（3）由a_n=$\frac{6}{n（n+1）}$=6（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）证明：∵a₁=3，a_n-1-a_n=$\frac{1}{3}$na_n-1a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$n，n≥2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=（$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n-2}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$）+$\frac{1}{{a}_{1}}$
=$\frac{1}{3}$[n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1]
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{n（n+1）}{6}$，
∴a_n=$\frac{6}{n（n+1）}$（n≥2），
对n=1也成立，即有a_n≠0；
（2）由（1）可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{6}$；
（3）证明：前n项和为T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{6}{1•2}$+$\frac{6}{2•3}$+…+$\frac{6}{n（n+1）}$
=6（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=6（1-$\frac{1}{n+1}$）＜6，
则T_n＜6（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．