已知$\overrightarrow{a}$=.cosωx).$\overrightarrow{b}$=(sin.-cosωx).ω＞0．设f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为π．的单调增区间,(Ⅱ)当x∈(-$\frac{π}{3}$.$\frac{π}{6}$)时.求f(x)的值域,=0且0＜α＜� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin（π+ωx），cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{3}{2}$π-ωx），-cosωx），ω＞0．设f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期为π．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）求满足f（a）=0且0＜α＜π的角α的值．

分析（Ⅰ）利用数量积的坐标表示求f（x）的解析式，化简后结合复合函数的单调性求得f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），求得$2x-\frac{π}{6}$的范围，进一步求f（x）的值域；
（Ⅲ）求出满足f（α）=$sin（2α-\frac{π}{6}）$=0的α的取值集合，结合α的范围求得角α的值．

解答解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sin（π+ωx），cosωx），$\overrightarrow{b}$=（sin（$\frac{3}{2}$π-ωx），-cosωx），得
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin（π+ωx）•sin（$\frac{3}{2}$π-ωx）-cos²ωx
=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$$-\frac{1}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$$-\frac{1}{2}$．
∵f（x）的最小正周期为π，∴$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1．
∴$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）当x∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）时，$2x-\frac{π}{6}∈（-\frac{5π}{6}，\frac{π}{6}）$，则函数的值域为[$-\frac{3}{2}，0$）；
（Ⅲ）由f（α）=$sin（2α-\frac{π}{6}）$=0，得$2α-\frac{π}{6}=kπ$，
∴$α=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$，又0＜α＜π，
∴取k=0、1时，求得$α=\frac{π}{12}$、$\frac{7π}{12}$．

点评本题考查平面向量的坐标运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的图象和性质，是中档题．