Question

17． 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，点E是SB的中点，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，△ACD为等边三角形．
（Ⅰ）求证：SD∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱锥S-ACE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，交AC于O，连接OE，利用线面平行的判定定理即可证明SD∥平面ACE；
（Ⅱ）根据三棱锥的体积关系转化为V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，结合三棱锥的体积公式求对应的底面积和高即可求三棱锥S-ACE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，连接OE，
∵底面ABCD为平行四边形，
∴O是BD的中点，
∵E是SB的中点，
∴OE是△SBD的中位线，
∴OE∥SD，
∵OE?平面ACE，SD?平面ACE，
∴SD∥平面ACE
（Ⅱ）解：∵侧面SBC⊥底面ABCD，∠SBC=45°，SC=SB=2$\sqrt{2}$，
∴△SBC是等腰直角三角形，且BC=4，
取BC的中点F，FB的中点H，
则SF∥EH，且SF⊥平面ABCD，
即SF是三棱锥S-ABC的高，EH是三棱锥E-ABC的高，
则V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，
∵△ACD为等边三角形．
∴△ABC为边长为4等边三角形，则三角形的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}×{4}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
高SF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×4$=2，EH=$\frac{1}{2}$SF=$\frac{1}{2}×2=1$，
则V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SF-$\frac{1}{3}$S_△ABC•EH=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×2-$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断，以及三棱锥体积的计算，根据体积割补法将体积转化为V_S-ACE=V_S-ABC-V_E-ACE，是解决本题的关键．