Question

10．设函数f（x）=a|x-2|+x．
（1）若函数f（x）有最大值，求a的取值范围；
（2）若a=1，求不等式f（x）＜|2x-3|的解集．

Answer 1

分析 （1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-a）x+2a，a＜2\\（1+a）x-2a，a≥2\end{array}\right.$，由f（x）有最大值，可得1-a≥0且1+a≤0，解出即可得出．
（2）不等式f（x）＜|2x-3|，即|x-2|-|2x-3|+x＞0．分类讨论可得：g（x）=|x-2|-|2x-3|+x=$\left\{\begin{array}{l}2x-1，x＜\frac{3}{2}\\-2x+5，\frac{3}{2}≤x≤2\\ 1，x＞2\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-a）x+2a，a＜2\\（1+a）x-2a，a≥2\end{array}\right.$，
∵f（x）有最大值，
∴1-a≥0且1+a≤0，
解得a≤-1．
∴最大值为f（2）=2．
（2）不等式f（x）＜|2x-3|，即|x-2|-|2x-3|+x＞0．
设g（x）=|x-2|-|2x-3|+x=$\left\{\begin{array}{l}2x-1，x＜\frac{3}{2}\\-2x+5，\frac{3}{2}≤x≤2\\ 1，x＞2\end{array}\right.$，

由g（x）＞0解得x＞$\frac{1}{2}$．
原不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．