Question

9．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为$2\sqrt{3}$，OM=MP，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；
（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，
则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，
∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，
∴OP²=PN²+ON²，∴${（2PM）^2}=P{N^2}+{（2\sqrt{3}）^2}$，
∴4PN²=PN²+12，∴PN=2，从而$OP=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
∴$OM=2，BM=OB-OM=2\sqrt{3}-2，AM=OA+OM=2\sqrt{3}+2$，
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又$CM=\sqrt{（2\sqrt{3}{）^2}+{2^2}}=4$，
∴$MN=\frac{BM•AM}{CM}=\frac{{（2\sqrt{3}-2）（2\sqrt{3}+2）}}{4}=2$．

点评 本题主要考查圆的切线性质和圆的相交弦定理，及勾股定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．