Question

5．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为3，则三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 12π
• C． 8π
• D． 4π

Answer 1

分析 根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，∴$AC=\sqrt{3}$．
∵AA₁⊥底面ABC，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积$V=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}•C{C_1}=3$，得$C{C_1}=2\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球半径$r=\frac{1}{2}\sqrt{1+{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=2$，
∴${S_表}=4π×{2^2}=16π$．
故选：A．

点评 本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．