Question

15．已知函数$f（x）=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定义在（-1，1）上是奇函数，且$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出b的值，根据$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$求出a的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）由题意可知f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-ax+b}{{1+{x^2}}}=-\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$，∴b=0．…（3分）
∴$f（x）=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$，∵$f（\frac{1}{2}）=\frac{2}{5}$，∴a=1，
∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$．…（6分）
（2）f（x）在（-1，1）上递增，
证明如下：
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{-x}_{1}x}_{2}）}{1{{+x}_{1}}^{2}}$，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，∴1-x₁x₂＞0，$1+x_1^2＞0，1+x_2^2＞0$，
∴$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{1+x_1^2}＜0$，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查根据函数单调性的定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．