Question

【题目】如图所示，在多面体ABCDE中，△BCD是边长为2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中点．
（Ⅰ）求证：BF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：如图，取BD中点O，连接OC，OA，
∵△BCD为正三角形，∴OC⊥BD，
∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD，
∴OC⊥面ABDE，则OC⊥OA，
又AE∥DB，AE⊥DE，AE= ，
∴OA⊥OD．
以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（0，﹣1，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（ ）．
， ，
∵ ，∴ ，即BF⊥CD；
（Ⅱ）解： ， ， ．
设平面BCF的一个法向量为 ，
由 ，得 ，取x1=1，得 ．
设平面BFD的一个法向量 ，
由 ，得 ，取x2=1，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角C﹣BF﹣D的余弦值为
【解析】（Ⅰ）取BD中点O，连接OC，OA，由题意可证OC、OD、OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，D，E，F的坐标，得到 的坐标，由 ，可得 ，即BF⊥CD；（Ⅱ）分别求出平面BCF与平面BFD的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣BF﹣D的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．